Fungsi ini adalah fungsi hasil bagi. Fungsi ini merupakan 'sahabat' fungsi modulus. Dua fungsi ini merupakan fungsi yang penting dalam bilangan basis. fungsi ini sering disingkat dengan 'div'. Definisinya adalah:
a div b = k dengan a = b.k + m dan m = a mod b
misalnya saja
9 div 2 = 4 karena 9 = 2.4 + 1.
Dalam fungsi div, nilai yang diambil adalah nilai bilangan bulat yang paling mendekati, tapi tidak boleh melebihi. Fungsi ini, sama seperti fungsi mod, ia hanya berfungsi pada bilangan bulat.
Cara kerja kedua fungsi ini dalam bilangan basis adalah dengan melakukan 2 operasi ini secara berulang kali pada angka itu. Yang paling umum adalah basis 2, atau biner. Sekarang kita uji dengan angka yang agak kecil. Kita ambil 5.
a. 5 mod 2 = 1 5 div 2 = 2
Nilai dari 5 div 2 tadi kita lakukan lagi operasi yang sama.
b. 2 mod 2 = 0 2 div 2 = 1
Jadi bilangan biner dari 5 adalah 101
Sudah mengerti kan.
Modulo atau modulus adalah fungsi sisa hasil bagi. Fungsi ini berlaku pada bilangan bulat. Fungsi ini didefinisikan sebagai
a mod b = x maka k.b + x = m dengan a div b = k dimana a,b,k dan x adalah bilangan bulat.
Misalnya saja
10 mod 3 = 1
karena hasil dari 10 : 3 menghasilkan 3 dan sisa 1
contoh lain:
9 mod 3 = 0
Fungsi mod jarang dipakai dalam matematika disekolah. Fungsi ini dan fungsi 'div' hanya sering dipakai dalam bahasa pemrograman. namun tidak ada salahnya kita mempelajarinya kan.
Karena 9 habis dibagi 3 dan tidak memiliki sisa.
Angka enam.
Apa yang ada di pikiran kita saat mendengar angka itu. Angka enam adalah salah satu dari sepuluh angka pertama(0-9)
Angka enam di alam itu sangat banyak. Seperti yang pernah saya tulis sebelumnya. Alam mengambil bentuk yang paling efisien. Jika lingkaran adalah yang paling efisien dalam tunggal. Maka enam adalah yang paling efisien. Buktinya, anda bisa lihat pada cincin benzena, pada kepingan salju, atau pada fenilalanin. Semuanya mengandung segi enam. Begitu juga dengan sarang lebah. Enam sangat efisien karena jika ia disusun maka ia tidak akan meninggalkan ruang kosong. Enam juga dibahas oleh beberapa agama. Agama Islam menyebutkan di dalam Al-Qur'an bahwa alam semesta diciptakan dalam enam masa, selain itu ada juga surah An=Nahl (lebah) yang sarangnya berbentuk segi enam. Agama kristen memiliki alkitab yang ada 66 kitab, selain itu ada juga angka 666 yang disebutkan oleh Daniel. Agama yahudi memiliki lambang berupa bintang David yang memiliki 6 sisi.
Angka memang ajaib sulit untuk bisa kita mengerti.
Paradoks memang amat membingungkan. Ini adalah contoh dari paradoks yang saya buat sendiri.
"Seorang pria yang selalu berkata bohong, mengucapkan perkataan, "Aku selalu berkata bohong."
Sekarang, jika ia selalu berkata bohong, maka ucapannya tadi adalah bohong, dan artinya ia selalu berkata jujur. Itu bertentangan dengan premis awal. Jika anda katakan dia jujur, bahkan lebih jelas lagi. Sekarang perhatikan yang berikut ini.
"Seorang pria yang selalu berkata jujur mengatakan, "Aku selalu berkata bohong."
Yang ini bahkan lebih aneh lagi. Jika ia selalu jujur, maka pernyataan yang baru diucapkannya adalah bohong. Tapi ia selalu berkata jujur. Jadi Siapakah diantara mereka berdua yang bohong. Atau keduanya jujur, atau keduanya bohong. Silakan anda nilai sendiri. Yang jelas, akan sulit sekali menjelaskannya dengan sederhana.
Apa anda pernah mendengar tentang paradoks. Paradoks adalah sebutan untuk pernyataan yang bertentangan dengan logika matematika dan salah secara logika. Beberapa paradoks yang terkenal dalah paradoks Zeno, Russel, dan Einstein atau paradoks kembar.
Pardoks zeno berbunyi:
'Ada lomba balap lari antara kura-kura melawn Achilles. Tapi kura-kura diberi kesempatan untuk bergerak lebih awal kira - kira 1 km. Achilles bergerak dua kali lebih cepat dari kura kura. Saat Achilles telah samapi pada jarak 1 km, kura-kura pasti sudah bergerak dan mencapai jarak 1,5 km. saat. Saat Achilles mencapai jarak 1,5 km, kura-kura mencapai jarak 1.75 km. Begitu seterusnya'
Jadi ia takkan bisa mengejar kura-kura sampai kapan pun. Tapi itu pernyataan yang salah. Penjelasannya bisa dijelaskan melalui konsep ketidakterbatasan.
Lalu paradoks Russel:
'Disebuah daerah hanya ada 1 tukang cukur. Tidak ada orang yang mencukur rambutnya sendiri. Hanya tukang cukur yang boleh mencukur. Semua orang harus dicukur. Lalu siapa yang akan mencukur si tukang cukur?'
ini hanya berlaku jika A elemen R jika dan hanya jika A bukan elemen dari A. Sedangkan paradoks kembar hanyalah pernyataan dari teori relativitas. Silkan pelajari lebih lanjut.
Anda tahu bahwa trigonometri itu sangat unik. Sekarang saya akan menunjukkan seberapa unik trigonometri.
Anda ingat identitas trigonometri?
lihat yang satu ini!
tan^2 x + 1 = sec^2 x
jika x = 90 derajat maka
(1/0)^2 + 1 = 1/(0^2)
oleh karena 1^2 = 1 dan 0^2 = 0 maka
1/0 + 1 = 1/0
Jika 1/0 = a maka
a + 1 = a
1 = a-a
1 = 0.
Nah, disitulah permasalahannya. Cari lagi ya.......
Sekarang ada satu lagi permasalahan matematika yang cukup aneh untuk diselesaikan. Perhatiak persamaan di bawah ini!
x = x
x^2 = x^2
x^2 - x^2 = x^2 - x^2
(x+x)(x-x) = x(x-x)
x+x = x
2x = x
2 = 1
Nah silahkan cari kesalahannya. Ini akan sedikit sulit karena Secar aljabar dan secara logika, persamaan yang saya kemukakan itu sulit untuk dicari kesalahannya. Saya kan menunjukkan lagi beberapa persamaan yang aneh dalam postingan yang lain. Dan sekali lagi, anda harus memecahkannya. Persamaan ini merupakan yang paling unik dari beberapa persamaan yang pernah saya posting, karena persamaan ini adalah murni aljabar. Tanpa angka keculai pada eksponennya. Ini adalah tantangan pada ilmu pengetahuan manusia. Sekaligus bukti bahwa ilmu manusia itu sangat terbatas dibandingkan dengan ilmu-Nya. Saya hanya akan mencoba menjelaskan salah satu cara untuk menjawab persamaan itu nanti.
Matematika itu memang aneh. seperti adanya bilangan imajiner (i), tak terbatas dan lainnya. sekarang saya akan menunjukkan satu lagi keanehan pada matematika. Perhatikan persamaan dibawah ini.
x = 1
x^2 = 1
x^2 = x
x^2 - 1 = x - 1
(x+1)(x-1) = 1(x-1) jika kedua ruas dibagi (x-1), maka akan mendapatkan nilai
x+1 = x
(1)+1 = (1)
2 = 1
Silakan cari kesalahannya.
Seperti yang anda lihat penjumlahan diagonal dari segitiga Pascal itu menghasilkan deret Fibonacci. Meskipun keduanya bisa dikatkan berlawanan. Pascal adalah nama salah satu bahasa pemrograman komputer, sedangkan deret Fibonacci dikatakan sebagai deret paling alami di alam.
Kenapa alami?
Karena angka-angka dalam deret itu bertebaran di alam ini, dalam jumlah itu langsung maupun kelipatannya. Pada bunga, pohon, buah, hewan, bahkan tubuh manusia. Deret ini terdapat di tubuh manusia. misalnya, lima jari, 2 & 3 ruas jari, percabangan 2 pada bronkus, 5 gelambir paru-paru, dan masih banyak lainnya. Pada tumbuhan, misalnya kuntumbunga adalah kelipatan 2 atau , ada yang 5, 13 dan yang alinnya. Misalnya pada bunga matahari. Pada hewan, misanya jerapah yang memiliki 3 atau 5 tanduk. 1 atau 2 cula pada badak dan masih banyak yang lainnya.
Lalu kenapa harus deret Fibonacci?
ada 2 alasan. Pertama adalah karena ini adalah cara yang paling efisien untuk menata bagian-bagian tubuh. Kedua adalah karena perbandingan antar suku pada deret ini adalah rasio emas. Seperti yang anda tahu bhwa angka ini merupakan angka yang "Paling Cantik"
1,618
angak itu merpukan proporsi yang paling banyak muncul di alam. Sehingga tidak heran jika mata manusia sangat menikmati benda dengan proporsi ini. Jika tidak percaya. Uji sendiri dengan menggunakan persegi panjang dengan perbandingan p:l, 1:1,4 ; 1:1,6 ; dan 1:1,8 lalu pulih yang mana yang menrut anda paling proporsional.
Konjektur Goldbach merupakan sebuah permasalahan matematika yang cukup memusingkan para ahli matematika.
Konjektur Goldbach berbunyi:“ Setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima ”
Contoh:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
dst.
Salah satu teman saya menjawab dengan sifat pada bilangan genap yang bisa dinyatakan sebagai penjumlahan dari dua bilangan ganjil (hampir semua bilangan prima adalah ganjil), saya hanya sedikit menambahkan yaitu bilangan genap bisa dinyatakan sebagai penjumlahan dari dua bilangan genap dan ganjil. Anda bisa membuktikannya dengan aljabar sederhana tanpa harus mengetahui pola dari bilangan prima. Sederhana saja bukan.
