Deret Fibonacci adalah Fraktal?

Fraktal. Apa anda tahu tentang Fraktal? Fraktal adalah sebutan untuk sekelompok gambar bangun datar yang dapat diperbesar pada bagiannya tanpa mengubah bentuknya. Atau juga bisa karena ia bisa membentuk gabungan dengan bagiannya yang lebih kecil sehingga membentuk bangun datar yang makin lama makin rumit.

Ini adalah contoh dari geometri fraktal yang biasa disebut segitiga Sierpinski. Ciri khas dari geometri fraktal adalah anda dapat terus membaginya hingga mencapai ketakterhinggaan.

Lalu apa kaitannya dengan deret Fibonacci yang merupakan angka dan bukan gambar? Ternyata jika deret Fibonacci itu dinyatakan dalam aljabar maka akan terlihat bahwa ia tersusun dari deret Fibonacci lain. Misalkan saja suku pertama dan keduanya adalah x dan y. Maka deret Fibonaccinya adalah

x, y, x+y, x+2y, 2x+3y, 3x+5y, 5x+8y, ........

Jika anda perhatikan, maka akan terlihat bahwa koefisien x dan y membentuk deret Fibonacci.

x : 1, 1, 1, 2, 3, 5, .....

y : 1, 1, 2, 3, 5, 8, .....

Kecuali koefisien x dan y yang pertama, anda akan melihat bahwa koefisien yang lainnya adalah bagian dari deret Fibonacci yang paling dasar yaitu:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .....

Lalu kenapa koefisien pertama tidak bisa dimasukkan sebagai bagian dari deret itu? Jawabnya sangat sederhana. itu karena suku pertama dan kedua dari deret Fibonacci ditentukan secara bebas. Selain intu deret ini adalah satu-satunya deret yang tidak bisa 'diloncati' karena suku selanjutnya hanya didapat dengan cara menjumlahkan dua suku sebelumnya. Memang deret Fibonacci dan geometri fraktal berbeda dimensi, tapi ini menunjukkan betapa banyaknya hal yang saling berkaitan di dunia ini.

Matematika, Mutlak atau Tidak?

Pernahkan anda berpikir akan ada persamaan yang bisa membuat anda berpikir ulang tentang matematika. Jika tidak, perhatikan persamaan di bawah ini!
0 = 0
0.1 = 0.2
0.1 = 0.2 (kedua ruas dibagi nol)
1 = 2
Aneh sekali kan? Sejak kecil anda sudah diajari bahwa 1 < 2. Tapi persamaan ini tidak mengatakan demikian. Anda mungkin bisa menerima jika 1 dikatakan sama atau lebih kecil daripada 2.
Tapi tidak kali ini. Persamaan ini jelas menunjukkan itu salah.
Sekarang, hanya ada 2 kemungkinan, konsep matematika dasar adalah salah, atau persamaan ini salah. Anda yang menentukan yang mana yang salah.
Bagaimanpun kita masih sulit untuk mencari yang mana yang salah. Jadi ini tantangan untuk anda. Tentukanlah kesalahannya!!!

Efisiensi bola dan lingkaran

Tahukah anda kenapa bentuk buah selalu bulat atau setidaknya mendekati bentuk bola. Anda tidak pernah menemukan buah yang berbentuk persegi di alam.
Pernahkah anda bertanya kenapa itu bisa terjadi?
Jawabannya bisa dijelaskan dengan matematika.
Jika ada memiliki sebuah kertas yang bisa dibentuk menjadi kulit sebuah bangun ruang, maka anda akan menemukan dengan bentuk bola-lah yang akan memiliki nilai volume terbesar. Itu bisa anda buktikan dengan cara menghitung sendiri.
Hal yang sama juga terjadi pada lingkaran. Jika 2 buah bangun datar memeliki keliling yang sama, maka lingkaran akan memiliki luas terbesar. Alam akn berusaha sebisa mungkin untuk menghemat segalanya.
Tuhan menciptakan segalanya dengan penuh perhitungan, dan itu dibuktikan dengan banyak hal. Anda bisa mulai mencarinya dari tubuh anda sendiri.

Phi 22/7

pernahkah anda berpikir darimana nilai phi pada sebuah lingkaran bisa ditetapkan?
nilai itu sebenarnya ditetapkan dari perbandingan antara panjang jari-jari lkingkaran (radius atau R) dengan panjang dari keliling lingkaran.
Nilai asli yang ditetapkan Archimedes sebenarnya bukanlah 22/7 melainkan diantara 220/71 < phi < 221/70.
namun sekarang nilai yang diakui secara global setelah pengukuran denag ketelitian yang tinggi, ditetapkanlah nilai phi = 22/7 atau 3,14.
sedangkan hubungannya dengan luas lingkaran ditemukan Archimedes setelah menggambar persegi pada luar lingkaran yang tepat bersinggungan dengan sisinya, dan persegi lainnya yang digambar di dalam sehingga titik sudutnya tepat menyinggung sisi lingkaran.

Phi

Anda mungkin mengenal Phi sebagai bilangan yang mendekati 3,14. tapi Phi yang saya maksudkan di sini memiliki nilai mendekati (1+SQRT5)/2 atau 1,61803...

angka ini dikenal sebagai angka emas atau rasio emas. percaya atau tidak, angka ini banyak terdapat di alam bahkan pada tubuh manusia.

dalam matematika, angka ini menjadi rasio pada deret Fibonacci. semakin lama angka pada deret Fibonacci akan semakin mendekati nilai ini. Anda boleh buktikan sendiri